Това представяне се нарича каноничен вид на полинома


с. 1
§14. Интегриране на рационални функции
Съдържание

1. Пресмятане на неопределен интеграл от елементарни дроби

2. Интегриране на правилни рационални функции

3. Интегриране на неправилни рационални функции


ТЕОРИЯ

Всеки полином с реални коефициенти



може да се представи по единствен начин като произведение на старшия си коефициент и на известен брой (различни по между си) елементарни множители от първи вид и/или елементарни множители от втори вид , ,



Това представяне се нарича каноничен вид на полинома .

Функцията се нарича рационална, когато е частно на два полинома,

Рационалната функция се нарича правилна, когато . Нека



е правилна рационална функция, . Тогава може да се запише като сбор от серии елементарни дроби. Всеки елементарен множител от първи вид на поражда серия елементарни дроби от първи вид , а всеки елементарен множител от втори вид на поражда серия елементарни дроби от втори вид



С други думи





Интегриране на елементарни дроби. Елементарните дроби от първи вид се интегрират непосредствено



,

За да се научим да интегрираме елементарни дроби от втори вид, отначало ще разгледаме интеграла



, ,

При имаме табличен интеграл



При се използва рекурентната формула





Интегриране на рационални функции. Ако рационалната функция

,

не е правилна, , отначало ще разделим полинома на и съгласно теорема , където е частното, а е остатъкът при това деление (), откъдето след разделяне на получаваме



Второто събираемо в дясната страна е правилна рационална функция. Сега имаме



което означава, че пресмятането на интеграла се свежда до интегриране на полином и интегриране на правилна рационална функция. Полиномите се интегрират непосредствено. Остава да покажем начин за интегриране на правилни рационални функции. Нека рационалната функция



е правилна и е известно представянето на знаменателя като произведение на елементарни множители. Тогава може да се запише като сбор от елементарни дроби и в крайна сметка интегрирането на ще се сведе до интегриране на елементарни дроби.


ЗАДАЧИ

Да се решат следните интеграли.



Задача 1.



Решение. Подинтегралната функция

е правилна. Разлагаме я на елементарни дроби. На множителя съответства само една дроб от вида



защото този множител е на първа степен. И на втория множител съответства само една дроб от вида



защото и този множител е на първа степен. Следователно



Тук А и В са неопределени за сега коефициенти. За да ги определим, привеждаме дясната страна на равенството под общ знаменател. Той е същият като знаменателя на лявата страна. Ето защо сравняваме само числителите на лявата и дясната страна на равенството. Това е правило, което ще прилагаме и в следващите задачи. Получава се



Това равенство трябва да е вярно за всяка стойност на . Един начин за определяне на А и В е на да дадем такива стойности, че в получените равенства да участва само една от неопределените константи – това се постига ако изберем така, че или , или . Нека



Ако


Друг начин за определяне на А и В е да се сравняват коефициентите пред равните степени на от двете страни на равенството



т.е.


Коефициентът пред отляво е , следователно . Аналогично коефициентът пред отляво е , следователно . Решаваме системата



като използваме формулите на Крамер (или по някой друг начин)



Следователно



Тогава идва ред да решим дадения интеграл като го представим като сбор от интеграли от дробите, които заместват подинтегралната функция





Забележки.

1. Ако дробта е правилна и знаменателят и е разложен на множители, задачата за интегрирането и се прави както в тази задача.

2. Ако дробта е правилна и знаменателят и не е разложен на множители първо представяме този знаменател в каноничен вид и от множителите в него определяме вида на елементарните дроби, на които се разлага дадената дроб.

3. Ако дробта не е правилна първо се извършва деление на полинома от числителя с полинома на знаменателя и след това се пристъпва към интегриране.



Задача 2.



Решение. Дробта е правилна и знаменателят и е разложен на множители. Разлагаме я на елементарни дроби. На съответства една дроб от вида

и на множителя съответства една дроб, но от вида



защото квадратният тричлен има отрицателна дискриминанта. Следователно



Определяме стойностите на константите чрез привеждане под общ знаменател и сравняване на числителите. Получава се



Определяме една от константите чрез задаване стойност на . Полагаме



.

За да определим другите две константи, сравняваме коефициентите пред съответните степени на . За имаме



За имаме



Следователно









Задача 3.



Решение. Дробта е правилна, но знаменателят и не е разложен на множители. Разлагаме го така

Тогава на множителя ще съответстват три дроби, а на множителя само една дроб



Определяме константите от равенството



При . При . Пред коефициентите от ляво и от дясно са съответно и . Следователно . Пред коефициентите от ляво и от дясно са съответно и . Следователно . Тогава



следователно





Задача 4.



Решение. Дробта е правилна, но знаменателят и не е разложен на множители. Разлагаме го така

Тогава на множителя ще съответства една дроб



и на множителя ще съответства една дроб

(квадратният тричлен има отрицателна дискриминанта и за това в числителя на дробта стои линеен израз ). Следователно



.

Определяме константите от равенството



При . Пред коефициентите от ляво и от дясно са съответно и . Следователно



Пред коефициентите от ляво и от дясно са съответно и . Следователно



Заместваме получените стойности и получаваме



Задача 5.



Решение. Дробта не е правилна и знаменателят и не е разложен на множители. Извършваме първо делението на полиномите и

Тогава




Константите A, M и N определяме от равенството





Получават се както в предните задачи ,. Следователно





Задача 6.



Решение. Задачата се решава абсолютно по същия начин както предната. Дробта

не е правилна и знаменателят и не е разложен на множители. Извършваме първо делението на полиномите

и



Имаме


Тогава

Разлагаме правилната дроб



на елементарни дроби



Определяме неизвестните константи от равенството



Сравняваме коефициентите пред равните степени на . За имаме . За имаме . За имаме . За имаме . Получава се системата



Решение на получената система уравнения е . Заместваме тези стойности в елементарните дроби и решаваме дадения интеграл







Задача 7.



Решение. Подинтегралната функция

е правилна. Разлагаме я на елементарни дроби. На множителя съответства само една дроб от вида



защото този множител е на първа степен. На втория множител съответстват две дроби от вида



и

защото този множител е на втора степен. Следователно



.

Определяме неизвестните константи от равенството



За


.

За


За

За

За

.

Решение на системата уравнения е

Следователно





Означаваме интеграла



с и го решаваме отделно, след което ще го заместим с това което получим в израза









След заместване се получава







Забележка: Обърнете внимание как е решен

Първо в числителя се прибавя и изважда , след това се използва формулата за интеграл от разлика на две функции и на края интегралът



се решава по части след предварително внасяне на под знака на диференциала.

За да не правим толкова подробно решение можем да използваме формулата

Тогава



с. 1

скачать файл