Съдържание Формула на Лайбниц-Нютон за пресмятане на определен интеграл


с. 1
§9. Задачи от определен интеграл
Съдържание

1. Формула на Лайбниц-Нютон за пресмятане на определен интеграл

2. Формула за интегриране по части при определен интеграл

3. Смяна на променливата при решаване на определен интеграл



Свойства на определен интеграл. Повечето свойства на интеграла се получават непосредствено от дефиницията на Риманов интеграл



което е валидно за всяка интегруема функция .



(1) Нека и функцията е интегруема в интервалите и . Тогава е интегруема в интервала , при което



(2) Нека е интегруема в интервала и е константа. Тогава функцията също е интегруема в , при което



(3) Нека функциите и са интегруеми в интервала . Тогава функцията също е интегруема в интервала , при което



(4) Нека е интегруема в и нека за . Тогава

В частност, интегралът запазва неравенствата, което означава, че ако и са две интегруеми функции в интервала и за , то





(5) Нека и са интегруеми в , при което , , за някои константи и , и освен това функцията не си сменя знака в интервала (, за всяко , или , за всяко ). Тогава съществува константа , , такава, че



(6) Ако е непрекъсната, то съществува , за което

В частност ( теорема за средните стойности), когато , съществува , за което





(7)

(8)

(9) Теорема (Лайбниц-Нютон). Нека е непрекъсната в отворения интервал и нека . Тогава

където е една (коя да е) примитивна на в интервала .


(10) Нека функциите и имат непрекъснати производни в отворения интервал и . Тогава е валидна формулата



(11) Нека функцията е непрекъсната в отворения интервал и . Нека освен това, функцията има непрекъсната производна в отворения интервал , , при което и , . Тогава



(12) Формули на Уолис


Задачи. Да се решат интегралите и да се направи геометрична интерпретация на решенията

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

1.8. .

Решения.
1.1.

(Както се вижда от решението първо решаваме неопределения интеграл и след това прилагаме теоремата на Лайбниц-Нютон)



Числото задава лицето на криволинейния трапец (защрихованата част), ограничен от абсцисната ос, графиката на функцията



и правите с уравнения , . Това лице е от лицето на начертания квадрат с дължина на страната, равна на .


1.2.



( от лицето на квадрата със страна 1 е лицето на защрихованата част на чертежа). Аналогично се тълкуват решенията и на задачите, решени по-долу.



1.3.



1.4. За да решим

полагаме . Тогава



,

Сменяме границите чрез таблицата


















Тогава



1.5. За да решим интеграла

полагаме

















и получаваме

Тук сме използвали формулата на Уолис за четна степен на .


1.6. За да решим

полагаме . Тогава



1.7. Интегрираме по части след предварително внасяне под знака на диференциала на функцията

Получаваме







1.8.

Интегрираме по части интеграла







Следователно



Заместваме тази стойност в израза за изходният интеграл и за него получаваме стойност




с. 1

скачать файл