Лекция 25 §25. Диференциални уравнения от първи ред Основни определения


с. 1
Лекция 25

§25. Диференциални уравнения от първи ред

1. Основни определения. Диференциално уравнение се нарича уравнение, в което участват известен брой производни на търсената функция. В общия случай диференциалното уравнение има вида , където е непрекъсната функция. Най-високата производна в записа се нарича ред на уравнението, например уравнението е от трети ред. Променливата се нарича независима променлива, а чрез е означена функцията която търсим в качеството на решение на въпросното уравнение. Една непрекъсната функция се нарича решение на диференциалното уравнение в интервала , когато има непрекъснати производни до реда на уравнението и след заместване го удовлетворява тъждествено в интервала . Ние ще разглеждаме основно уравнения разрешени относно старшата производна, които имат вида , където е непрекъсната функция. Под общо решение на дадено диференциално уравнение се разбира съвкупността от всичките негови решения. Намирането на общото решение на дадено диференциално уравнение е специфична и трудна задача, а в повечето случаи общото решение не може да се запише като краен израз от елементарни функции дори когато самото уравнение изглежда достатъчно просто. Едно такова уравнение например е уравнението .

Намирането на неопределен интеграл от функцията формално е частен случай на решаване на диференциално уравнение от първи ред . Неговото общо решение е , в който запис присъства една произволна константа. Уравнението от -ти ред се решава чрез последователни интегрирания. Например да решим уравнението . След едно интегриране получаваме , а след второто . Тук се получиха две произволни константи колкото е редът на уравнението. В общия случай ситуацията е аналогична. Общото решение на едно диференциално уравнение от ред зависи от толкова наброй произволни константи и има вида . При фиксирани допустими стойности за тези константи, формулата за общо решение задава връзка между променливите и , която в типичния случай представлява (една или повече) крива в декартовата равнина . Тези криви се наричат интегрални криви на уравнението.

За уравнението ще разглеждаме още и начална задача, която се получава ако към това уравнение прибавим определен брой начални условия, които представляват стойностите на търсената функция и нейните производни до ред в дадена начална точка .

В тази лекция основно ще разглеждаме уравнения от първи ред решени относно производната, които се записват , където е непрекъсната функция. Общото решение тук има вида . Съвкупността на интегралните криви се определя от един параметър – произволната константа , а решаването на началната задача с начално условие означава да се избере онази интегрална крива, която минава през точката на началните данни . За тези уравнения променливите и са фактически равнопоставени по смисъла на самото уравнение, независимо от факта, че първоначално се схваща като независима променлива, а като функция на . Тази равнопоставеност добре се забелязва от вида на общото решение, както и от геометричното тълкуване на решенията като интегрални криви. Ако запишем производната като отношение на двата диференциала, , то уравнението приема вида



или ,

което още веднъж показва еднаквото значение на променливите и . Последното обосновава равенството

(25.1) ,

като най-обща форма на записване на едно диференциално уравнение от първи ред, решено относно производната. Уравнението (25.1) можем да презапишем



или ,

където означава производната на като функция на .



2. Уравнения с разделящи се променливи. Такива са уравненията от вида

,

където и са непрекъснати функции. Уравнението (25.2) записваме във вида



,

което позволява да разделим променливите



.

Като интегрираме последното, за общото решение получаваме формулата



,

където е произволна константа.

Тук и навсякъде по-нататък в процедура за решаване на диференциални уравнения, под неопределен интеграл ще разбираме само една примитивна, която се избира с оглед на конкретно удобство. Това се прави по целесъобразност да не се смесват по произволен начин константите идващи от неопределения интеграл и за да имат ясен смисъл изразите, в които участват интегралните знаци.

Например да решим уравнението

(25.2) .

Следвайки процедурата за решаване на уравнения с разделящи се променливи намираме



, ,

откъдето след интегриране получаваме



.

Като пресметнем интегралите получаваме, че общото решение на (25.2) е



.

Този подход крие известен риск да пропуснем някои частни решения, което няма да обсъждаме.

По аналогия с формулата (25.1), най-общата форма на запис за уравнения с разделящи се променливи е

,

в която всъщност променливите са разделени още в записа на уравнението.

Нека едно уравнение може да се преобразува във вида

(25.3) .

Тогава след полагане , , (25.3) се свежда към уравнение с разделящи се променливи. Имаме . След заместване получаваме

, , ,

откъдето за общото решение на (25.3) намираме формулата



,

в която след решаване на интегралите трябва да се върнем към първоначалните променливи и .

Например да решим уравнението

(25.4) .

Това уравнение се преобразува до хомогенно

.

Полагаме , , при което . Заместваме и намираме



, ,

следователно общото решение има вида



.

За неопределените интеграли имаме



и ,

откъдето за общото решение получаваме



.

В последния израз можем да положим , , и да преобразуваме до вида



, .

Сега ще се освободим от модулите позволявайки константата да приема всякакви стойности. Окончателно за общото решение намираме формулата



, ,

което в първоначалните променливи е



,

където е произволна константа.



3. Линейни уравнения. Диференциалното уравнение от първи ред се нарича линейно, когато има вида

(25.5) ,

където коефициентите и се предполагат непрекъснати функции в отворения интервал . Да положим и да заместим в (25.5). Получаваме

,

,

,

следователно всичките решения на (25.5) се дават по формулата

(25.6) .

Например да решим уравнението

(25.7) .

Уравнението е линейно, понеже се преобразува като



.

Съгласно формулата (25.6), неговото общо решение е

(25.8) .

Пресмятаме



,

и заместваме в (25.8), като разглеждаме два случая.



1) . Тогава имаме

.

2) . Тогава имаме

.

Понеже е произволна константа, горните два случая могат да бъдат обединени с единствената формула



,

което е общото решение на (25.7). Изобщо когато целият първи множител във формулата (25.6) се получи в модул, при следващите преобразувания модулът се пренебрегва.

Уравнението на Бернули

(25.9) , , ,

се свежда до линейно след полагането ,

.

4. Точни диференциални уравнения. В този раздел ще разглеждаме уравнения от първи ред, записани в общата форма (25.1). Диференциалното уравнение

(25.10)

се нарича точно, когато диференциалната форма се явява пълен диференциал на някоя функция . По тази причина точните уравнения се наричат още уравнения, произхождащи от пълен диференциал. Тук функциите и се предполагат гладки (имат непрекъснати частни производни) в областта . Съгласно определението за пълен диференциал, уравнението (25.10) е точно, ако за някоя гладка в функция е изпълнено

(25.11)

при всяко . Ако уравнението (25.10) е точно, то имаме и . Сега от равенството на смесените производни следва, че по необходимост е налице условието

(25.12) ,

което се нарича условие за точност. Ако уравнението (25.10) е точно и е породено от пълния диференциал на , то може да се запише във вида , а неговото общо решение се дава по формулата

(25.13) ,

където е произволна константа. Например да разгледаме уравнението

.

Това уравнение е точно, понеже е породено от пълния диференциал на функцията , следователно неговото общо решение е



.

Решаването на дадено точно уравнение означава да се намери функцията , която го поражда. Това може да стане например по следната схема. Разглеждаме първото от равенствата (25.11) и го интегрираме по . Получаваме

(25.14) .

Тук е константата на интегрирането, която може да зависи от другата променлива . Диференцираме (25.14) по и получаваме



,

откъдето съгласно второто равенство в (25.12) намираме

(25.15) .

От последното, след преобразуване и евентуално опростяване на изразите, чрез интегриране определяме функцията . За да бъде възможно извършването на всичките действия е необходимо дясната страна на (25.15) да не зависи от . Това условие е налице, понеже производната на израза по е тъждествено нула,



съгласно условието за точност (25.12).

Например да решим по тази схема уравнението

(25.16) .

Тук и . Имаме , следователно уравнението (25.16) е точно. Сега търсим функция , за която е изпълнено

.

Интегрираме първото равенство по и получаваме



,

(25.17) .

След диференциране по , като отчетем второто равенство намираме

,

откъдето пресмятаме



.

Сега като заместим в (25.17), получаваме , следователно общото решение на (25.16) се получава по формулата



,

където е произволна константа.

Изложената схема за определяне на може да стартира и от второто равенство (25.11), като в този случай отначало ще интегрираме по , а след това за да използваме информацията от първото равенство ще диференцираме по .

Условието за точност (25.12) е същевременно и условие за независимост на криволинейния интеграл от втори род от пътя. По тази причина, ако областта , където са определени функциите и е едносвързана, то функцията може да се определи по формулата

(25.18) ,

където е една фиксиране точка от областта , а криволинейният интеграл се взема по някоя (коя да е) частично гладка крива, която свързва точките и . В този случай обикновено се избира начупена линия, а в случая на изпъкнали области може да се вземе отсечката, която свързва двете точки.

Например за уравнението (25.16) избираме , а кривата на интегриране е отсечката , свързваща началото с точката , която има следното параметрично представяне

Тогава по формулата за пресмятане на криволинеен интеграл от втори род, за (25.18) намираме



,

,

.

При началната задача за уравнението (25.10) търсим интегрална крива, която минава през точката . Ако уравнението е точно, то решението се получава по формулата



,

където е зададена чрез (25.18), което в частност оправдава записа на общото решение във вида (25.13). Като изберем , за решението на началната задача получаваме

(25.19) .

Ако или , то според теоремата за неявните функции множеството, дефинирано от (25.19) представлява гладка крива през точката , която крива е търсеното решение на началната задача.

Ако , то въпросното множество може да не представлява крива. Например да разгледаме началната задача за търсене на интегрална крива за уравнението през точката . По формулата (25.19) за решение се получава множеството , което представлява единствената точка .

Уравненията с разделящи се променливи

(25.20)

са частен случай на точни уравнения, понеже тук . От направените разсъждения следва, че решението на началната задача за (25.20) има вида



,

ако е налице условието или .






с. 1

скачать файл