Лекция 10 §10. Неопределен интеграл Определение и основни свойства


с. 1 с. 2
Лекция 10

§10. Неопределен интеграл

1. Определение и основни свойства. Нека функциите и са определени в отворения интервал . Казва се, че е примитивна на в интервала , когато за всяко . Например функцията е примитивна на . От дефиницията веднага се вижда, че примитивната не се определя еднозначно. Ако е една примитивна и е някаква константа, то функцията също е примитивна, понеже

.

По нататък ще докажем, че ако е непрекъсната в интервала , то има поне една примитивна в и всичките примитивни се получават от чрез добавяне на константа. Съвкупността от всичките примитивни на дадена функция се нарича неопределен интеграл на и се бележи с . По този начин за неопределения интеграл имаме



,

където е една (коя да е) примитивна на .

Неопределеният интеграл е множество от функции и по тази причина равенството на два неопределени интеграла трябва да се схваща като равенство на множества. Две множества и са равни, когато всеки елемент на принадлежи на и обратно, всеки елемент на принадлежи на .

Пример 10.1. Неопределеният интеграл от функцията можем да изразим по следните два (както и по други) начина

и .

Множествата от функции



и ,

където и са произволни константи, са равни. Нека , което означава, че , за някое . Тогава , следователно и като елемент на се получава при . По същия се проверява, че всеки елемент на е елемент на .

Знакът се нарича знак на интеграла, се нарича подинтегрална функция, а се нарича подинтегрален израз, който може да се запише във вида или . Операцията за намиране неопределен интеграл от дадена функция се нарича интегриране и се явява обратна на операцията диференциране, понеже съгласно определенията

и .

При работа с неопределен интеграл както е прието, чрез символа на интеграла ще означаваме както съвкупността от всичките примитивни на така и една конкретна примитивна според обстоятелствата на употреба на интеграла.

Интегрирането притежава следните основни свойства.

Свойство 1. Нека функцията е диференцируема в отворения интервал . Тогава

(10.1) , .

Доказателството на това свойство следва направо от определението, понеже лявата страна на (10.1) всъщност е

.

Свойство 2. Нека е непрекъсната в отворения интервал . Тогава

(10.2) , .

Формулата (10.2) се отнася за всяка примитивна на и нейната справедливост също следва направо от определенията.

Свойство 3. Нека и са непрекъснати в отворения интервал . Тогава за неопределения интеграл на функцията е в сила

(10.3) , .

Нека е една примитивна за , а е една примитивна за . Тогава

,

следователно функцията е една примитивна за и по определение

(10.4) .

В дясната страна на (10.3) стоят всевъзможни функции от вида

(10.5) .

За да завършим доказателството на това свойство, остава да съобразим, че множеството от функции , където е произволна константа, съвпада с множеството от функции от вида (10.5), където и са произволни константи.



Свойство 4. Нека е непрекъсната в отворения интервал и е константа. Тогава за интеграла на функцията имаме

(10.6) , .

Нека е една примитивна на , . Тогава

,

следователно функцията е една примитивна за и по определение



.

В дясната страна на (10.6) формално стои множеството от функции , за което непосредствено се съобразява, че съвпада с множеството от функции .

Като комбинираме свойствата 3 и 4 получаваме, че интегрирането е линейна операция, т.е. интеграл от линейна комбинация е равен на съответната линейна комбинация от интеграли,

.

Нека . Когато преобразуваме израза във вида се казва, че функцията се внася под знака на диференциала, а когато преобразуваме израза във вида се казва, че функцията се изнася пред знака на диференциала.



Твърдение 10.1 (смяна на променливата). Нека функцията е непрекъсната в отворения интервал , а е непрекъснато диференцируема в отворения интервал , при което . Тогава, ако

(10.7) ,

то

(10.8) .



Доказателство. Да положим . Съгласно верижното правило за диференциране на съставни функции имаме

,

понеже по определение . Това показва, че е една примитивна за функцията , откъдето следва верността на формулата (10.8). ■

Формулата (10.8) може да се запише във вида

и да се разглежда като получена от (10.7) след полагането и затова се нарича формула за смяна на променливата.

Важен частен случай на твърдение 10.1 се получава, когато знаем

.

Тогава след линейната смяна , , получаваме



,

следователно



.

Пример 10.2. За да намерим

извършваме линейната смяна , след което получаваме



.

Практически тези действия се извършват по следния начин. Умножаваме и разделяме интеграла с константата , след което получаваме



.

Сега добавяме подходящата константа под знака на диференциала,



и получаваме



,

понеже . Тук под знака на диференциала можехме да добавим коя да е друга константа, но само константата върши определена работа при неговото пресмятане. Последното понякога се нарича правило за адитивната константа, което означава, че под знака на диференциала можем да добавяме подходяща константа, без да променяме интеграла.

Следните неопределени интеграли се използват често и тяхната вярност се доказва чрез непосредствено прилагане на определенията и формулите за производни на основните елементарни функции.

1) , , .

Тази формула е вярна и когато степента позволява функцията да бъде определена и за .



Пример 10.3. Имаме

и .

2) , ,

където е произволна константа. Да положим



.

Тогава според верижното правило



,

което доказва формулата. Да подчертаем, че тя е валидна във всеки от двата отворени интервала и . В частност тук показахме, че ако , то във всеки от двата интервала и .



Пример 10.4. Имаме

и .

3) , .

В частност



.

Пример 10.5. Имаме

.

4) и .

5) и .

6) ,

където . Тук са възможни два отговора. Обикновено се избира първия, т.е. в повечето случаи пишем



.

Пример 10.6. Имаме

и .

7) ,

където . Тук също са възможни два отговора, като обикновено се избира първия, т.е. пишем



.

Пример 10.7. Имаме

и .

8) ,

където . Тази формула се доказва след интегриране на тъждеството



,

.

Пример 10.8. Имаме

и .

9) ,

където .



Пример 10.9. Имаме

.

10) и .

2. Непосредствено интегриране. Под това действие се разбира изравняване на величината под знака на диференциала с аргумента на оставащата функция и след това прилагане на някой от изброените по-горе таблични и интеграли.

Пример 10.10. За да пресметнем интеграла

,

внасяме под знака на диференциала, , и получаваме



.

Тук използвахме, че .



Пример 10.11. За интеграла

,

внасяме под знака на диференциала, , и получаваме



.

Тук използвахме, че .



Пример 10.12. За интеграла

,

след внасяне на под знака на диференциала, , намираме



.

Тук използвахме, че .



Пример 10.13. За да пресметнем интеграла

,

ще се възползваме отначало от линейното свойство,



,

където


, , .

Тук , и означават по една примитивна от съответните интеграли. Очевидно



, .

За да пресметнем внасяме под знака на диференциала, . В този случай можехме да внесем , но това би било безполезно. В крайна сметка



,

а за началния интеграл получаваме



.

Пример 10.14. Да разгледаме интеграла

.

След отделяне на точен квадрат в знаменателя получаваме



,

който решаваме по следния начин,



,

.

По същия начин след отделяне на точен квадрат и свеждане към познати случаи се решават интегралите



, , .

3. Интегриране по части. Решаването на даден интеграл означава по същество да внесем функцията под знака на диференциала. Много интеграли могат да се решат, ако първоначално внесем само някаква част от , ако това е изобщо възможно, след което да приложим правилото за интегриране по части.

Твърдение 10.2 (интегриране по части). Нека функциите и имат непрекъснати производни в отворения интервал . Тогава

(10.9) , .



Доказателство. Съгласно формулата за диференциране на произведение

,

,

следователно



,

,

понеже


.

При този извод пропуснахме познатите технически уточнения, произтичащи от факта, че неопределеният интеграл е множество от функции. ■

Формулата (10.9) се записва обикновено по следния начин

.

Пример 10.15. За да пресметнем интеграла

,

внасяме функцията под знака на диференциала, и получаваме



,

след което прилагаме правилото за интегриране по части,



.

Сега изнасяме функцията пред знака на диференциала ,



.

Внасяме под знака на диференциала, и получаваме



,

интегрираме отново по части,



,

след което окончателно намираме



.

Да обърнем внимание, че по време на междинните действия, при решаване на интегралите не пишем произволна константа. Тази произволна константа се добавя накрая, когато в израза вече няма интегрални знаци.

В този пример се забелязват трите характерни стъпки на прилагане правилото за интегриране по части, внасяне под знака на диференциала, прилагане на формулата и изнасяне пред знака на диференциала.

По същия начин, чрез няколкократно интегриране по части, се пресмятат интеграли от вида



, , ,

където е константа, а е полином, като всеки път под знака на диференциала се внася тригонометричната или експоненциалната функция.

При интеграли от вида

, , ,

, ,

внасянето на под знака на диференциала и следващо интегриране по части в много случаи може да доведе до решаване на интеграла.



Пример 10.16. Да пресметнем

.

След внасяне на под знака на диференциала, , получаваме



.

Интегрираме по части,



,

откъдето след изнасяне на пред знака на диференциала, , намираме



.

Пример 10.17. Да пресметнем интеграла

.

Интегрираме по части,



,

,

,

откъдето намираме



.

Пример 10.18. Да пресметнем интеграла

, .

Въвеждаме спрегнатия интеграл



.

Чрез интегриране по части намираме



,

.

Аналогично,



,

.

По този начин за интегралите и получихме линейната система



,

,

която решаваме по познатия начин и намираме



, .

4. Полиноми и рационални функции. Полином от степен не по-висока от се нарича функцията

.

Ако , то степента на е точно . Степента на полинома ще означаваме с . Полиномите от нулева степен са константи. Тук коефициентите , , ..., са реални числа. Един полином се формира само на базата на действията събиране и умножение. Между полиномите също така е определено деление с остатък. Ако и са полиноми, при което , то съществуват единствени полиноми и , , такива, че може да се запише във вида

(10.10) .

Полиномът се нарича частно от делението на с , а полиномът се нарича остатък от делението. Ако степента на е по-голяма от степента на , , то делението е безпредметно, понеже формулата (10.10) приема вида , в този случай частното е тъждествено нула, , а остатъкът съвпада с , .

В частност, ако и е някакво число, то

(10.11) ,

където е полином, , е константа. Казва се, че е корен на полинома , когато . От (10.11) се вижда, че е корен на полинома , , тогава и само тогава, когато може да се запише във вида .

Представянето (10.11) може да се получи веднага и от известната формула на Тейлър за полиноми

(10.12) .

Числото се нарича корен от кратност , за полинома , когато може да се запише във вида , където е полином, за който . Ако , то коренът се нарича прост.



Пример 10.19. Числото е корен от кратност за полинома , а полинома има два прости корена .

с. 1 с. 2

скачать файл